サマヨッタの活動記録Ⅲ

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【数学A】組み分け問題に関するまとめメモ 

2011.03.16
Wed
13:51

散々昨日から頭をひねらせた問題。
カードを引っ張り出して、実験を加えつつまとまってきたので、文字にしてまとめておきます。

3つのものを3つに分ける場合分けについて。
ところどころ数字が0とか1になってしまうのですが、数字を変えれば解法はそのまま使えるようにしました。

☆0人を許して

・3人(区別あり)を3つの部屋(区別あり)に分ける。

A,B,C1人1人にa、b、cの部屋に行く選択肢3通りがあるのだから、
3^3=27通り。

・3人(区別あり)を3つのみかん箱(区別なし)に分ける。
箱には、Ⅰ(0人、1人、2人)、Ⅱ(1人、1人、1人)、Ⅲ(0人、0人、3人)の入れ方がある。
Ⅰ:ぼっちになるヤツが3通りある。
Ⅱ:1通り
Ⅲ:1通り
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲは重複しない。3+1+1=5通り。

・3つの玉(区別なし)を3つの部屋(区別あり)に分ける。


(解き方その1)
||(仕切り2つ)○○○(玉3つ)の並び順だけある。
5!/3!2!=10通り。

(解き方その2)
x+y+z=3、x≧0、y≧0、z≧0と表せて、
これは(解き方1)の状態になるので(解き方1)に行ける。
(伏線)

・3つの玉を(区別なし)を3つのみかん箱(区別なし)に分ける。

総当りしかない。上から2個目に作ったⅠ~Ⅲの3通りのみ。



☆0人を許さないで

・3人(区別あり)を3つの部屋(区別あり)に分ける

0人を許した全体27通りから、

1)1部屋に詰め込む場合
3通り
2)2部屋に詰め込む場合
仮に部屋aが0人になるとすれば、b,cに一人以上が入る入れ方は(2^3 -2)ある。
部屋b、部屋cが空室になるときを考えて、3(2^3-2)=18通り

の2パターンを引く。
よって6通り。

・3人(区別あり)を3つのみかん箱(区別なし)に分ける。
上の場合に、(A、B、C)も(B、A、C)も同じ。よって、A、B、Cの並べ方分だけダブりがある。
並べ方は3!=6通りあるのだから、上を3!で割って、
6÷3!=1通り。

というか、3人を3つのみかん箱で0人許さないで分けるのは一人一つしかありえんという話。
この場合が分かれば、ひとつ上の場合でも逆算ができる。

・3つの玉(区別なし)を3つの部屋(区別あり)に分ける。

さっきの(伏線)を使って、
x+y+z=3、x≧1 y≧1 z≧1と置ける。
(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
それぞれをa、b、cと置けば、これは(解き方その1)を使用できる。
よって、a+b+c=0は仕切り2つしかない状態なので、1通りしか出来ない。

・3つの玉(区別なし)を3つのみかん箱(区別なし)に分ける。

総当りしかない。
この場合は1通りのみだけれど、基本的には無理。




これが昨日の数学3時間の悪戦苦闘の成果です^q^
もう組み分けも怖くない!
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カテゴリ: 数学

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